ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ
Для розуміння змісту принципу Діріхле подамо його в жартівливому формулюванні: «Якщо в n клітках сидять не менш ніж (n+1) кроликів, то в якійсь із кліток сидить не менш ніж два кролики».
Зверніть увагу на розпливчастість висновків – « у якійсь із кліток», «не менш ніж». Це є, мабуть, відмітною рисою цього принципу, що іноді приводить до можливості несподіваних висновків на основі, здавалося б зовсім недостатніх зведень.
1. Є 25 коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них 9 коробок цукерок того самого сорту.
Доведення. Припустимо, що коробок цукерок того самого сорту менше, ніж 9. Тоді загальна кількість коробок буде меншою від 25. Наприклад, якщо навіть усіх сортів по 8 коробок, то всього буде 24 коробки. Тоді коробка, що залишилася, є 9 коробкою цукерок одного із сортів. Що й потрібно було довести.
2. Чи можна розкласти 44 кульки на 9 купок так, щоб кількість кульок в різних купках було різним?
3. В одному з будинків живуть 30 учнів однієї школи. Доведіть, що серед цих учнів є хоча б два учні з одного класу, якщо в школі 28 класів.
4. У коробці лежать однакові кульки 3 червоних і 5 білих . Яке найменше число кульок треба взяти навмання, щоб серед них свідомо було
а) хоча б один червоний;
б) хоча б один червоний білий;
в) хоча б два червоних;
г) хоча б два білих?
5. У коробці лежать однакові прапорці: 20 червоних, 15 білих і 10 жовтих. Яке найменше число прапорців треба взяти навмання, щоб серед них свідомо було не менше ніж три?
а) червоний;
б) одного кольору;
в) різного кольору.
6. У темній кімнаті стоїть шафа, в шухляді якої лежать 24 червоних і 24 синіх шкарпетки. Яку найменшу кількість шкарпеток треба взяти із шухляди навмання, щоб з них свідомо можна було скласти принаймні одну пару шкарпеток одного кольору?

ЗАДАЧІ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ЧИСЛА
Для запису і дій над числами ми користуємося десятковою позиційною системою числення. Будь-яке число ми подаємо у вигляді:
2457 = 2 ∙ 1000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7;
301 = 3 ∙ 100 + 0 ∙10 + 1;
28 = 2 ∙ 10 + 8
¯аbc = a ∙ 100 + b ∙ 10 + с.
(Запис ¯аbc означає тризначне число, а запис abc – добуток чисел a, b, c).
¯ааbcd = a ∙ 10000 + а ∙ 1000 + b ∙ 100 + с ∙ 10 + d;
22357 = 2 ∙ 10000 + 2 ∙ 1000 + 3 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7;
1. Якщо до двозначного числа ліворуч і праворуч приписати по одиниці, то воно збільшиться у 21 раз. Знайдіть це число.
Розв’язання. Нехай ¯аb - шукане число. Тоді ¯1аb1 = 21¯аb
або 1 ∙ 1000 + а ∙ 100 + b ∙ 10 + 1 = 21 ∙ ( а∙ 10 + b).
Наведемо подібні члени:
1001 = 210 а – 100 а + 21b – 10b,
1001 = 110 a + 11 b,
91 = 10 a + b.
Отже, ¯аb = 91.
2. Тризначне число закінчується цифрою 3. Якщо цю цифру помістити в початок запису числа, то нове число буде на одиницю більше від потроєного первісного числа. Знайдіть первісне число.
3. Тризначне число закінчується цифрою 7. Якщо цю цифру переставити на перше місце, то отримаємо число, у два рази і ще на 21 одиницю більше від первісного. Визначте це число.
4. Якщо між цифрами двозначного числа вписати нуль, то отримане тризначне число буде в 7 разів більше початкового. Знайдіть це число.
5. Якщо між цифрами двозначного числа вписати двозначне число на 1 менше первісного, то отримане чотиризначний число буде в 91 разів більше початкового. Знайдіть це число.
6. В саду двозначне число дерев у кожному ряду виражено тими ж цифрами, що і кількість рядів, але в зворотному порядку. Два повних ряду зайняті грушами. Інша частина саду засаджена яблунями трьох сортів з однаковим кількістю дерев кожного сорту. Першого сорту було по 7 дерев з обох сторін кожного ряду, що не зайнятого грушами, а для решти двох сортів залишилося площа саду поділена навпіл. Скільки грушевих дерев у саду?
Розв’язання. Нехай всього ¯аb = (10а + b) рядів, тоді в кожному ряду по ¯bа = (10b + а) дерев. Порахуємо кількість яблунь кожного сорту.
З одного боку (10 а + b – 2) ∙ (10 b + а) : 3, з іншого боку 2 ∙ 7 ∙ (10 а + b – 2).
Маємо рівняння
(10 а + b – 2) ∙ (10 b + а) : 3 = 14 (10 а + b – 2);
(10 а + b – 2) ∙ (10 b + а) = 42 (10 а + b – 2);
10 b + а = 42.
Так як а і b – цифри,то а = 4, b = 2. Отже, 24 ряду і грушевих дерев буде 24 ∙ 2 = 48.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ
1. Обчисліть
99 – 97 + 95 – 93 +… +3 – 1.
Розв’язання. Згрупуємо доданки
(99 – 97) + (95 – 93) + … (3 – 1) = 2 ∙ 25 = 50.
2. Знайдіть суму
1/(1∙2)+1/(2∙3)+1/(3∙4)+⋯+1/(98∙99)+1/(99∙100).

Розв’язання.
(1 - 1/2 ) + (1/2- 1/3) +… + (1/99- 1/100) = 1 - 1/100= 99/100.
3. Обчисліть
1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 +…+ 301 + 302.
4. Доведіть, що
3/(2∙5)+3/(5∙8)+3/(8∙11)+⋯+ 3/(20∙23)= 21/46.
5. Знайдіть суму
2^2/(5∙7)+2^2/(7∙9)+2^2/(9∙11)+⋯+2^2/(59∙61).
6. Знайдіть суму
1/2+ 1/(2∙3)+ 1/(3∙4)+ 1/(4∙5)+ …+ 1/(9∙10).
7. Знайдіть суму всіх парних чисел від 2 до 100 включно.
8. Знайдіть суму всіх непарних чисел від 1 до 99 включно.
9. Обчисліть
(100 – 12) ∙ (100 – 22) ∙ (100 – 32)∙ … ∙(100 – 252).

ЗАДАЧІ НА ПАРНІСТЬ
1, 2, 3, … - непарні числа,
2, 4, 6, … - парні числа.
Сума двох парних чисел – число парне, сума двох непарних чисел – також парне число.
1. Чи можна 30 яблук розкласти на три купки так, щоб число яблук у кожній купці було непарним?
Відповідь. Не можна, оскільки якщо в трьох купках непарне число яблук, то сума їх непарна. А 30 – парне число.
2. Чи можна 10 олівців розкласти на дві купки так, щоб число олівців у кожній купці було непарним? А на три купки?
3. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю в 1, 3 і 5 карбованців?
Розв’язання. Десять купюр по 1,3 і 5 карбованців дають суму з парного числа карбованців, а 25 – число непарне. Отже, 25 карбованців не можна розміняти так, як говориться в умові задачі.
4. Чи можна заплатити 16 копійок за допомогою п’яти монет достоїнством у 1 к., 3 к., 5 к.?
5. Чи можна дошку розміром 5 × 5 заповнити доміношками розміром 1 × 2?
6. Є 10 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 7 або 5 частин. Всі отримані шматки змішали і деякі з них знову розрізали на 7 або 5 частин, і так далі. Чи можна після декількох таких операцій отримати 2015 шматків?

Предмети: Математика

Класи: 5 клас