Матеріал до уроку алгебри в 9 класі.

Тема уроку:Сума перших n членів геометричної прогресії
Мета уроку: вивести формулу для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії, сформувати в учнів уміння застосовувати її під час розв’язування задач; розвивати логічне мислення, пам’ять, увагу, обчислювальні навички; виховувати охайність, наполегливість, працьовитість.
Очікувані результати: учні повинні знати формулу суми n членів геометричної прогресії та вміти застосовувати її під час розв’язування задач.
Обладнання: підручник, роздавальний матеріал, комп'ютерна презентація.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань.
Форма проведення: урок з елементами гри.

Хід уроку

I. Організаційний етап
Добрий день, рада вітати вас! Перевірте готовність до уроку, вам знадобляться зошити, ручки, щоденники і, звичайно, ваш розум та пам’ять. Подякуйте долі за те, що вона подарувала вам життя, що ви можете ним насолоджуватись та мріяти. А щоб наші мрії здійснились, ми повинні бути впевненими в собі людьми. А для цього потрібні знання.
Девіз сьогоднішнього уроку: Закрийте двері перед помилками,
й істина теж не зможе зайти
Рабіндранат Тагор
Не бійтесь помилятись на шляху до істини, бо ніколи не помиляється лише той, хто нічого не робить.
Сподіваюсь, сьогодні кожен з вас дізнається багато нового, корисного і цікавого для себе.
У кожного з вас на парті знаходиться картка, зобразіть на ній смайлик, що відповідає вашому настрою на початку нашого уроку (варіанти смайликів прикріпленні на дошці)   
Сьогодні команди повинні пройти такі випробування:
Розумова розминка.
Математичний калейдоскоп.
У пошуках таланту.
Математики жартують.
Пізнай себе.
Знайди помилку.

II. Перевірка домашнього завдання
1. Запропонувати учням виконати перевірку домашнього завдання за записами, заздалегідь підготовленими на дошці.
2. Розумова розминка (усне опитування)
1. Дайте означення геометричної прогресії?
2. Що можна знайти за даною формулою?
3. Що означає знаменник геометричної прогресії?
Геометрична прогресія задана формулою n-го члена bn = 2*(1/2)^(n-1) . Назвіть:
1) b1, q;
2) b2;
3) b3;
Задайте формулу п-го члена геометричної прогресії:
1) 16; 8; 4;
2) 27; 9; 3;
3) 7; 14; 28;
Знайти знаменник геометричної прогресії (bn):
1) якщо b6 =100, b8 =9,
2) якщо b6 =12, b8 =3.
3) якщо b8 =48, b10 =3.
5. Дана геометрична прогресія (bn). Знайдіть b3, якщо:
1) b1 = 0,2, b4 = 5;
2) b4 = 7, q = -0,1;
3) b2 = 0,4, q = 5.
2. Математичний калейдоскоп (Завдання проектуються на екран. Виконуються письмово в зошиті)
1. Знайдіть номер члена геометричної прогресії (bn) ,
1) який дорівнює 80, якщо b1=5, q=2.
2) який дорівнює 108, якщо b1=4, q=3. .
3) який дорівнює 242, якщо b1=2, q=3.
2. Чому дорівнює перший член геометричної прогресії :
1) якщо b3=5, b6=625;
2) якщо b3=4, b6=256;
3) якщо b3=6, b6=162.
ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку, мотивація навчальної діяльності

1. В класі 31 учень. В період епідемії грипу в класі в перший день захворів 1 учень, другого дня захворіло 2 учнів, на третій день захворіло 4 учнів. Скільки учнів захворіє на четвертий день при такій закономірності? Через скільки днів весь клас не буде вчитися?
2. На даному уроці можна розглянути та обговорити одну із прикладних задач на обчислення суми перших п членів геометричної прогресії (наприклад, класичну задачу про винахідника шахів).
Розглянемо задачу: Шахову гру вигадали в Індії, і коли індуський цар Шерам познайомився з нею, він був у захваті від цієї гри, від різноманітності різних комбінацій у ній. Довідавшись, що цю гру винайшов один із його підданих, цар наказав покликати його, щоб особисто нагородити за вдалу вигадку.
Винахідник на ім’я Сета з’явився на виклик. Це був скромно одягнений учений, який одержував кошти для життя від своїх учнів.
– Я бажаю пристойно нагородити тебе, Сето, за чудову гру, яку ти вигадав, – сказав цар. Я достатньо багатий, щоб виконати найсміливіше твоє побажання, – запропонував цар. – Назви нагороду, яка тебе задовольнить, і ти її отримаєш.
Сета мовчав.
– Не соромся, – підбадьорив його цар. – Викажи своє побажання. Я не пошкодую нічого, щоб виконати його.
На це Сета відповів, що обмірковує відповідь і завтра повідомить царю своє прохання.
Другого дня, коли Сета повідомив про своє прохання, цар здивувався його надмірній скромності.
– Повелителю, – сказав Сета, накажи видати мені за першу клітинку шахової дошки одне пшеничне зернятко.
– Просте пшеничне зернятко? – здивувався цар.
– Так, повелителю. За другу клітинку – видати 2 зернятка, за третю – 4, за четверту – 8, за п’яту – 16, за шосту – 32…
– Досить, – роздратовано перервав його цар. – Ти одержиш зерна за всі 64 клітинки дошки, згідно з твоїм бажанням. Але знай, що твоє прохання не гідне моєї щедрості. Насправді, ти як вчитель міг би продемонструвати кращий приклад поваги щодо щедрості і доброти твого повелителя. Мої слуги винесуть тобі твій мішок з пшеницею.
Цар Шерам засміявся. «Ти одержиш свої зерна. Але знай твоє прохання не варте моєї щедрості»
На другий день придворні математики з’явилися до царя Шерама. І повідомили, що не знайдеться такої кількості зерна і на всьому просторі Землі. Таку кількість зерна можна зібрати з площі в 2000 разів більшу за площу Землі.
Напишіть же мені це дивовижне число – сказав Шерам.

Вчитель. Що відомо в задачі? Чому не можна скористатися вже відомими формулами суми?
▪ Оголошення теми уроку.
▪ Формулювання разом з учнями мети й завдань уроку. (Виведемо формули для обчислення суми членів геометричної прогресії і застосуємо до розв’язання цієї задачі, а потім і інших).
IV. Актуалізація опорних знань
Обчисліть:. а)(-1/2)^3 ; б) (-1/3)^4 ; в)(1-(-1/2)^5)/11 , г)(1-(1/3)^3)/13.
V. Засвоєння нових знань
План викладання нового матеріалу
1. Виведення формули для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії.
Нехай b1,b2,b3, … — геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через Sn суму перших n членів цієї прогресії: Sn= b1+b2+b3+…+ bn. (1)
Помножимо обидві частини цієї рівності на q, одержимо: Snq= b1q+b2q+b3q+…+ bnq.
За означенням геометричної прогресії b1q+ b2, b2q=b3, …, bn-1q=bn. Тоді Snq= b2+b3+…+ bn+ bnq (2)
Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2), маємо:
Sn- Snq= b1+b2+b3+…+ bn-( b2+b3+…+ bn+ q= b1- bnq; Sn(b1- bnq)= b1- bnq.
Якщо q≠1, то Sn=(b1- bnq)/(b1- bnq); bn= b1qn-1, тоді =(b_1 (1- q^n ))/(1- q).
Отже, маємо дві формули суми перших n членів геометричної прогресії:
Sn=(b_1 ( q^n-1))/( q-1) і Sn=(b_1- b_n q)/(1- q).
Якщо q=1 кожний член геометричної прогресії дорівнює b1, тому Sn= nb1.
2. Приклади розв’язування задач на застосування формули суми перших n членів геометричної прогресії.

Приклад 1. Знайдемо суму шести перших членів геометричної прогресії 16, 24, 36, ... .
Розв’язання
q=24/16=3/2; Sn=(b_1 ( q^n-1))/( q-1)=16((3/2)^6-1)/(3/2-1)=(2^(4 ) (3^6/2^6 -1))/(1/2)=(3^6/4-16)/(1/2)=332,5.
Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (хn) , якщо q=1/4, S4=765.
Розв’язання
S4=(b_1 ( q^4-1))/( q-1); 765=(b_1 ((1/4)^4-1))/(1/4-1); 765=(b_1 (-255/64))/(-3); b_1 (-255/64)=-2295; b_1=2295/(255/64)=9*64=576.
VI. Первинне закріплення знань
1.У пошуках таланту. Завдання розв’язують всі члени команд. Вони заробляють бали для своїх команд правильністю, швидкістю та раціональністю розв’язування.
Завдання 1.
1) Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії -32, -16, -8 …
2) Обчислити S6, якщо b1=64, q = ½
3) Обчислити S4, якщо b1=54, q = 1/3.
Завдання 2.
1) Сума перших чотирьох членів геометричної прогресії дорівнює -40, знаменник прогресії дорівнює -3. Знайти суму восьми перших членів прогресії.
2) Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії, якщо q=2, S3=49.
3) Знайти суму восьми перших членів геометричної прогресії, якщо q=-2, S3=-9.

2. Математики жартують.
1. Селянин продавав коня за 450 грн. Але покупець, подумавши, відмовився, вважаючи, що це дорого. Тоді селянин запропонував таку умову: «Купи у мене тільки цвяхи для підків, яких у кожній підкові по 6, а коня дістанеш на додачу. За 1-й цвях дай ¼ коп., за 2-й цвях – ½ коп., за 3-й цвях – 1 коп. і т. д.». Що б ви зробили на місці покупця?

2. Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи в повітовому місті, розташованому за 25 км від цього містечка, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. Скнара обійшов усіх, торгуючися з ними і порівнюючи ціни, які здавалися йому занадто високими (250 грн., 200 грн., 150 грн.). Нарешті він помітив візника з убогим візком. Він запитав, скільки той візьме за дорогу, той відповів: «За 1-й кілометр заплати мені 1коп., за 2-й – 2 коп., за 3-й – 4 коп., за 4-й – 8 коп. і так до кінця шляху».
Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?
3. Пізнай себе▪ Робота в парах за картками.

Картка 1
1. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (bn), якщо b1=1, q=-2.
2. Знайдіть перший член геометричної прогресії, якщо S4=15, q=0,5.

Картка 2
1. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (bn), якщо b3=-18, q=3.
2. Знайдіть кількість членів геометричної прогресії (хn), якщо х1=-8, q=3, Sn=-2912,.

Перевірити й оцінити кілька робіт за бажанням учнів.
4. Інтерактивна вправа «Знайди помилку»

№
b1 q bn n Sn
1 3 2 48 5 45
2 64 1/4 1 4 84
3 20 2 320 4 320

VII. Підбиття підсумків уроку
Орієнтовні запитання:
Що найбільше тобі сподобалось на сьогоднішньому уроці?
Назви ключові слова, що звучали протягом уроку?
Чому дорівнює сума n перших членів геометричної прогресії?
Оціни свою роботу на уроці. Обґрунтуй свою оцінку.
Чи комфортно вам було на уроці?
Що корисного ви взяли для себе з сьогоднішнього уроку?
Що викликало найбільші труднощі?

Оцінювання учнів.
У кожного з вас на парті знаходиться картка, на ній зображений смайлик, що відповідає вашому настрою на початку нашого уроку, а тепер зобразіть смайлик, що відповідає вашому настрою в кінці уроку (варіанти смайликів прикріпленні на дошці)    .
VIII. Домашнє завдання, інструктаж щодо його виконання
▪ Завдання для всього класу
Підручник Алгебра: підруч. для 9кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г.П. Бевз, В. Г. Бевз: №968, 975.
▪ Індивідуальне завдання
Різниця четвертого і другого членів геометричної прогресії дорівнює 30, а різниця четвертого і третього членів дорівнює 24. Знайдіть суму п’яти перших членів прогресії.

Класи: 9 клас

Предмети: Математика