МАТЕМАТИКА У ФІЗИЦІ

РОБОТА
СОКОЛОВСЬКОЇ ЛЮБОВІ АНАТОЛІЇВНИ
Вчителя фізики та астрономії

Апостолове
листопад 2013рік

Фізика – предмет, який не є дуже легким для дітей, які її вивчають. Чому? Тому що дитині крім знань з самої фізики треба вміти застосовувати знання з інших предметів, наприклад, з математики. На своїх уроках прагну, щоб діти не використовували калькулятори з тієї причини, що на ЗНО ними користуватися не дозволено. Дитина повинна вміти, як я кажу, бачити числа і використовувати нескладні знання з математики для перетворення формул та обчислень. Співпраця з вчителями з математики дає можливість відточувати знання учнів , повторюючи дії із дробами, правила пропорції, прямо - та обернено пропорційні залежності, графіки функцій і таке інше. Якщо мою статтю прочитають вчителі математики, то я буду їм вдячна за це, оскільки вони допоможуть і своїм колегам і, що саме головне , учням.
У сучасній освіті у наш час багато уваги приділяється інноваційним технологіям, нестандартним урокам, комп’ютерним елементам на уроці або ж весь урок комп’ютеризований. І якось на другий план відійшли міжпредметні зв’язки, хоча вони досі існують і без них не проходить жодного уроку з будь – якого предмету у тому числі і фізики. Я хочу зупинитись на застосуванні математичного апарату на уроках фізики та звернути на деякі особливості у процесі вивчення учнями фізики та які знання з математики вони повинні використовувати.
Починаючи з п’ятого класу, учні набувають знань з математики, які безпосередньо використовуються у фізиці. Тому тут дуже важлива співпраця вчителя фізики із вчителем математики з метою актуалізації вище зазначених питань. Так, наприклад, дуже важливими питаннями при вивченні математики у п’ятому класі, які потім застосовуються у фізиці, є такими: порівняння звичайних та десяткових дробів, множення звичайних та десяткових дробів, десятковий дріб, ділення звичайних та десяткових дробів, ділення з остачею, округлення, середнє арифметичне, відсотки.
Наведу приклад. Розв’язуючи задачі з фізики, особливо достатнього рівня , учні повинні вміти виразити невідому величину через відомі та підставити в основну формулу.
Задача.
Знайти кількість речовини, маса якої дорівнює 323г, а маса молекули цієї речовини дорівнює 2,7·10¯²⁷ кг.
Кількість речовини визначається за формулою ν =N/Nₐ ( 1 ) . Але в цій формулі невідома кількість молекул N. Її можна знайти поділивши масу речовини m на масу молекули m₀. У вигляді дробу це запишеться так: N = m/( m₀) ( 2 ) . Тепер треба виконати заміну символу N дробом ( 2 ), тобто помножити дріб 1/Nₐ на дріб m/(m₀) . Ось тут і повинні учні пригадати правила множення звичайних дробів . У результаті виходить дріб виду ν=m/(m₀Nₐ)
При виконанні задач у фізиці числа рідко діляться без остачі. Як правило ділення відбувається з остачею, тобто , якщо запис результату відбувається десятковим дробом, то учні повинні знати розряди чисел і знати правила округлення. Дуже добре учні пам’ятають з математики те, що у округленому числі відбувається збільшення на одиницю останньої цифри, якщо після неї йдуть цифри 5,6,7,8,9 і записується без змін, якщо після неї йдуть цифри 0,1,2,3,4. Наприклад, округлити число 357,856 до сотих, то це число матиме вигляд 357,86. Інший приклад: 45,81 округлити до десятих, то це число буде таким: 45,8. Також учні знають, що нуль в кінці числа можна відкинути, якщо після нього немає цифр, наприклад: 123,50 = 123,5. Це збиває учнів і вони неправильно записують округлене число, якщо треба округлити до сотих навіть якщо є числа після нуля. Наведемо приклад: 78,502 треба округлити до сотих. Це число після округлення матиме вигляд 78,50. Нуль в кінці числа не відкидається і говорить про те , що округлення відбулося до сотих частин числа. Це необхідно при аналізі та порівнянні результатів експерименту у лабораторних та практичних роботах з фізики та при визначенні відносної і абсолютної похибок в цих видах робіт. Зупинимося на цьому моменті детальніше.
Для запису меж визначеної величини у лабораторній роботі треба знати подвійні нерівності. З такими нерівностями та їх записом учні знайомі також у п’ятому класі. Знову приклад. У лабораторній роботі по визначенню густини твердого тіла одержані такі дані: маса тіла m= 208,0 ± 0,5г, А об’єм тіла - v=23,5±0,5 см³ . Визначимо верхню і нижню межі густини речовини тіла:
а) ρ₁=m₁/v₁ ρ₁=207,5: 24 ≈ 8,65 г/см³
б) ρ₂=m₂/v₂ ρ₂=208,5: 23 ≈ 9,06 г/см³.
Отже точне значення густини лежить між ρ₁ і ρ₂ : 8,65г/см³ < ρ < 9,06 г/см³ . А тепер треба використати середнє арифметичне для знаходження середнього значення густини : ( 8,65 + 9,06 ) : 2 = 8,855 ≈ 8,86 ( г/см³ ). Абсолютна похибка цього наближення не перевищує піврізниці меж : ( 9,06 – 8,65 ):2 ≈ 0,22(г/см³ ).
Отже, ρ = 8,86 г/см³ ± 0,22 г/см³.
Тепер про похибки.
Як відомо, в лабораторних і практичних роботах крім абсолютної похибки має важливе значення і відносна похибка. Ось тут учні використовують знання про відсотки. Продовжимо наводити приклад для лабораторної роботи на визначення густини твердого тіла. Визначимо відносну похибку для нашої величини:
ε=Δρ/ρ•100%
ε =0,22 ∙100% : 8,86 ≈ 2,5% .
За величиною відносної похибки можна робити висновки про точність роботи учня.
Ще одне важливе питання, якого треба торкнутися при вивченні фізики – стандартний запис числа. Особливо це має значення, якщо в лабораторній роботі або в задачі обчислюється таблична величина. Одержаний результат потрібно записати у стандартному вигляді, щоб потім порівняти його із табличним значенням цієї величини. За нормами стандартний вигляд числа записується у вигляді добутку a∙10ⁿ при цьому 1 ≤ a <10 , а n – порядок числа. Наведемо приклад. Нехай нам треба записати у стандартному вигляді число 365000. Як бачимо це число >1. Щоб знайти “a„ треба у даному числі перенести кому на п’ять знаків ліворуч ( n = 5 ); тоді дістанемо : 365000 = 3,65 ∙ 10⁵ . Нехай тепер число буде меншим за одиницю – 0,00124. Для знаходження “a„ кому треба перенести праворуч на три знаки, але порядок тепер буде із знаком “–„ ( n = –3 ). Таким чино число матиме вигляд : 0,00124 = 1,24 ∙10¯³.
Багато труднощів викликає у учнів обчислення із числами що мають степінь. Вони часто неправильно виконують дії при додаванні таких чисел, а також при діленні та множенні. Хоча у цьому випадку також використовується правило винесення за дужки ( при додаванні або відніманні ) , але при цьому числа повинні бути приведені до однакового показника степеню. Наприклад, при розв’язанні задач в обчисленнях маємо такий результат 564 ∙ 10³ + 1,28∙ 10⁵. У цьому випадку треба зробити так : 5,64 ∙ 10⁵ + 1,28 ∙ 10⁵. Далі множник 10⁵ можна винести за дужки і обчислення зводяться до усного рахунку, а саме :
564∙10³ + 1,28 ∙10⁵ = 5,64∙10⁵ + 1,28∙10⁵ = 10⁵ ( 5,64 + 1,28 ) = 6,92 ∙10⁵.
Звичайно, не завжди треба подавати число у стандартному вигляді. Вибір того чи іншого способу запису визначається міркуванням зручності. Якщо при розв’язку задачі одержано результат 3∙10³ кг, то ми не залишимо такий результат остаточним, тому що у побуті ми не використовуємо такий вид числа, а говоримо,що це 3 тони. Запис у стандартному вигляді найчастіше застосовується для дуже великих і маленьких чисел.
Запис чисел у стандартному вигляді широко використовується при наведенні табличних величин у фізиці й астрономії. Наведу кілька прикладів:
гравітаційна стала G= 6,67∙10¯¹¹ Н∙м²/кг²
стала Больцмана k= 1,38∙10¯²³ Дж/кг
швидкість світла у вакуумі с= 3∙10⁸ м/с
відстань від Землі до Сонця 1,50∙10¹¹ м.
Важливо, щоб вчитель математики при вивченні розглянутих питань наголошував на те, що ці знання безпосередньо будуть вивчатися у фізиці.
Наступний важливий момент - скорочування чисел або степенів. Дуже часто учні, виконуючи обчислення, не “бачать„ чисел, які можна скоротити. Але така робота може суттєво полегшити обчислення , звівши їх до усного рахунку. Це має важливе значення ще й тому, що при здачі незалежного оцінювання учням не можна користуватися калькулятором. Тому треба приділяти цьому моменту важливе значення.
Окремо хочу сказати про скорочування степенів у розрахунках. Знову наведемо приклад. Нехай маємо вираз (3∙10⁵∙5∙10¯²)/(60∙10²∙105∙10⁵) . У даному прикладі видно, що можна скоротити числа 60 і 5 та 3 і 105. При скороченні числа 105 на 3 слід нагадати правило ділення чисел на три: якщо сума чисел ділиться на три, то і число теж ділиться на три. А от степені тут можна скоротити 10⁵ у чисельнику із 10⁵ у знаменнику і це учні добре розуміють. А от степені 10² і 10¯² вони також намагаються скорочувати, забуваючи про те що степені із різними знаками не скорочуються. Після виконання дій над ними результат буде 10¯⁴,а не 10⁰, що дорівнює 1.
Зараз за новими вимогами у фізиці висунуто конкретні умови запису скороченої умови та розв’язку. Тут тепер треба застосовувати всі види дужок: і круглі, і квадратні, і фігурні. Після скороченого запису умови задачі і визначення невідомої величини треба спочатку розв’язати задачу аналітично, тобто формулами. Одержавши остаточну формулу для знаходження невідомої величини спочатку перед обчисленнями треба провести перевірку одиниць вимірювання фізичних величин. На цьому етапі роботи шукана величина береться у квадратні душки. Потім ведеться безпосередньо саме обчислення при цьому невідома фізична величина береться у фігурні душки. Саме цей вид дужок чомусь викликає в учнів труднощі у їх запам’ятовуванні та написанні. І знову приклад.
Коливальний контур генератора радіопередавача має ємність 3,5 мкФ та індуктивність 14 мкГн. Радіохвилі якої довжини випромінює антена цього радіопередавача?

Розв’яжемо задачу відповідно до вимог з боку фізики і продемонструємо використання всіх видів душок.

Дано: Розв’язання:
C= 3,5 пФ = 3,5∙10¯¹² Ф Запишемо формули ,за якими будемо
L= 14 мкГн = 14∙10¯⁶ Гн проводити обчислення.
с = 3∙10⁸ м/с T= 2π√LC(1). Довжина хвилі пов’язана із періо-
π= 3,14 дом співвідношенням λ = сT. Виразимо звідси
λ - ? період Т і підставимо у формулу (1). Т= λ/с
Після підстановки матимемо λ/с = 2π√LC
Тепер знайдемо довжину хвилі, як це необхідно за умовою задачі: λ =2πс√LC (2).
Наступний етап – перевірка одиниць вимірювання. Тут використовуються квадратні душки.
[ λ ]=м/с∙√Гн∙Ф = м/с√В∙с/А∙Кл/В = м/с √ с∙Кл/А = м/с√ с∙А∙с/А = м/с √ с² = м/с ∙с = м
Після перевірки одиниць ми одержали розмірність шуканої величини, отже можемо виконувати обчислення.
{ λ } = 2∙3,14∙3∙10⁸√14∙10¯⁶∙3,5∙10¯¹² = 18,84∙10⁸∙10¯⁹√14∙3,5 =18,84∙10¯¹∙√49 = 18,84∙7∙10¯¹ = 131,88 ∙10¯¹ = 13,18 ≈ 13 (м).

Отже, цим прикладом я показала як у фізиці використовуються різні види душок при чому у обов’язковому порядку. На прикладі цієї задачі можна добре побачити використання математичних правил і прийомів при розв’язанні фізичних задач. Хочу відмітити, що наведений приклад – задача по темі “ Електромагнітні хвилі ” у 11 класі. Це підтверджує необхідність накопичення учнями знань з математики, починаючи з п’ятого класу.

На завершення своєї роботи хочу підкреслити, що успішність учнів з фізики тісно пов’язана із міцністю їхніх знань з математики. Треба кожного разу підкреслювати школярам, що неможливо вказати які знання для них потрібні, а які - ні. Вони дуже часто наголошують на цьому: “ А для чого нам це потрібно? ” Вчителеві треба мати вагомі аргументи для переконання п’ятикласників - і не тільки - у необхідності тих знань, які вони зараз одержують.
Звичайно ж , що наведені мною приклади міжпредметних зв’язків математики і фізики є частковими. Я намагалася торкнутися саме математичних аспектів, використання математичного апарату у фізиці, саме те, з чим ми, вчителі фізики , стикаємося у своїй роботі. Буду рада, якщо моя робота буде корисною для моїх колег.

Література: Ф.П. Нестеренко “ Математика в шкільному курсі фізики ”.
Це джерело моєї роботи я намагалася використовувати лише для класифікації основних питань викладення проблеми і не копіювала текст.

Класи: 11 клас, 10 клас, 9 клас, 8 клас, 7 клас

Предмети: Математика, Фізика